Matematica joacă un rol decisiv pentru a înțelege comportamentul și funcționarea electric și sisteme electronice . Polinoamele, Algebra, Probabilitatea, Integrările și Diferențierile etc ... formează o parte semnificativă a instrumentelor utilizate pentru rezolvarea sistemelor. Odată cu creșterea complexității sistemelor, sunt necesare metode foarte sofisticate. Ecuațiile diferențiale sunt utilizate în mod vizibil pentru definirea sistemelor de control. Aceste ecuații sunt ușor de rezolvat. Dar complexitatea apare în timp ce se rezolvă ecuații diferențiale de ordin superior. Pentru a rezolva astfel de ecuații diferențiale de ordin superior complexe, metoda matematică care s-a dovedit a fi eficientă este Transformarea Laplace . Deoarece această transformare este utilizată pe scară largă, este util să știm la ce au însemnat cu adevărat și cum funcționează.

Ce este o transformare Laplace?

În matematică, transformările sunt aplicate pentru transformarea unei variabile de la o formă la alta pentru a face ecuația ușor de manevrat. Laplace transformă cam același lucru. Ei transformă ecuația diferențială de ordin superior într-o formă polinomială care este mult mai ușoară decât rezolvarea directă a ecuației diferențiale.

Dar există diverse transformări cum ar fi transformata Fourier, z transformă ceea ce face transformarea Laplace specială? Avantajul major al transformării Laplace este că sunt definite atât pentru sistemele stabile, cât și pentru cele instabile, în timp ce transformatele Fourier sunt definite numai pentru sistemele stabile.

Formula transformării Laplace

O transformată Laplace a funcției f (t) într-un domeniu de timp, unde t este numărul real mai mare sau egal cu zero, este dată ca F (s), unde există s este numărul complex din domeniul frecvenței, adică. s = σ + jω
Ecuația de mai sus este considerată ca unilateral Ecuația transformării Laplace . Când limitele sunt extinse la întreaga axă reală, atunci Transformată bilaterală Laplace poate fi definit ca
În circuite practice precum Circuite RC și RL de obicei, sunt utilizate condițiile inițiale, astfel încât transformatele Laplace unilaterale sunt aplicate în scopul analizei.
Ca s = σ + jω, când σ = 0 transformatele Laplace se comportă ca transformate Fourier.

“cum arată un inductor ”

Formule de transformare Laplace

Condiții pentru aplicabilitatea transformării Laplace

Transformatele Laplace sunt numite transformate integrale, deci există condiții necesare pentru convergența acestor transformate.
adică f trebuie să fie integrabil local pentru intervalul [0, ∞) și în funcție de dacă σ este pozitiv sau negativ, e ^ (- σt) poate fi în descreștere sau în creștere. Pentru transformările bilaterale Laplace mai degrabă decât o singură valoare, integrala converge într-un anumit interval de valori cunoscut sub numele de Regiune de convergență.

Proprietățile transformării Laplace:

Liniaritatea

Schimbarea timpului

Shift în domeniul S.

Inversarea timpului

Diferențierea în domeniul S.

Convoluție în timp

Teorema valorii inițiale

Teorema valorii inițiale se aplică atunci când în transformarea Laplace gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului Teorema valorii finale:

Dacă toți polii sF (s) se află în jumătatea stângă a planului S se aplică teorema valorii finale.

“ce este o pompă de transmisie ”

Transformarea Laplace inversă

Datorită convergenței, transformata Laplace caracteristică are și o transformată inversă. Transformările Laplace prezintă cartografierea unu-la-unu de la un spațiu funcțional la altul. Formula transformării Laplace inversă este

Cum se calculează transformata Laplace?

Transformarea Laplace face ca ecuațiile să fie mai ușor de manevrat. Când se dă o ecuație diferențială de ordin superior, se aplică transformată Laplace care convertește ecuația într-o ecuație algebrică, făcând astfel mai ușor de manipulat. Apoi calculăm rădăcinile prin simplificarea acestei ecuații algebrice. Acum se găsește transformata inversă Laplace a unei expresii mai simple care rezolvă ecuația diferențială de ordin superior.

Calculul transformării Laplace

Aplicații ale transformării Laplace

Analiza electrică și circuite electronice .
Descompunerea ecuațiilor diferențiale complexe în forme polinomiale mai simple.
Transformarea Laplace oferă informații despre stări stabile, precum și stări tranzitorii.
În învățarea automată, transformata Laplace este utilizată pentru a face predicții și pentru a face analize în mineritul datelor.
Transformarea Laplace simplifică calculele în modelarea sistemului.

Aplicarea transformării Laplace în procesarea semnalului

Transformările Laplace sunt frecvent optate pentru procesarea semnalului. Împreună cu transformata Fourier, Transformarea Laplace este folosit pentru a studia semnalele din domeniul frecvenței. Când există frecvențe mici în semnal în domeniul frecvenței, atunci se poate aștepta ca semnalul să fie neted în domeniul timpului. Filtrarea unui semnal se face de obicei în domeniul frecvenței pentru care Laplace acționează ca un instrument important pentru conversia unui semnal din domeniul timpului în domeniul frecvenței.

Aplicarea transformării Laplace în sistemele de control

Sistemele de control sunt de obicei proiectate pentru a controla comportamentul altor dispozitive. Exemplu de sistem de control poate varia de la un regulator simplu de încălzire a locuințelor la un sistem de control industrial care reglează comportamentul mașinilor.

În general, inginerii de control utilizează ecuații diferențiale pentru a descrie comportamentul diferitelor blocuri funcționale cu buclă închisă. Transformarea Laplace este utilizată aici pentru rezolvarea acestor ecuații fără pierderea informațiilor variabile cruciale.

Caracterizarea sistemelor liniare de timp invariante folosind transformarea Laplace

Pentru un sistem ocazional ROC asociat cu sistemul, funcția este jumătatea dreaptă a planului. Un sistem este anti-casual dacă răspunsul său la impuls h (t) = 0 pentru t> 0.

Dacă ROC al funcțiilor sistemului H (s) include axa jω atunci L.T.I. sistemul se numește sistem stabil. Dacă un sistem ocazional cu funcții de sistem raționale H (s) au părți reale negative pentru toți polii săi, atunci sistemul este stabil.

Astfel transformata Laplace este un instrument crucial în analiza circuitelor. Putem spune că un stetoscop este pentru doctorul Laplace transformatele sunt pentru inginer de control. Ce considerați că transformă Laplace? În ce fel ți-au fost de ajutor?